Đột phá trong phép chiếu bảo giác

Viết bởi Lim Nguyễn
Thứ hai , 24 Tháng ba 2008 13:52
Trái khế - một mẫu đa diện quen thuộc
Một số các kỹ thuật giải tích được giới sinh viên toán ứng dụng dùng đến nhiều hơn so với phương pháp chiếu bảo giác, ví dụ như các phương pháp cổ điển để giải các bài toán cơ học continuum, tĩnh điện, hay các lĩnh vực sử dụng phương trình Laplace và Poission hai chiều. Để sử dụng phép chiếu này, chúng ta cần một hàm mapping tường minh từ một domen chuẩn- ví dụ như một đĩa đơn vị hay nửa trên của trục tọa độ- đến đối tượng mà chúng ta cần tính. Với các chủ thể đơn giản, hay số lượng biên giao nhau là ít, thì công thức Schwarz–Christoffel (SC) có thể là tất cả những gì mà chúng ta cần. Sau hơn một trăm năm kể từ khi ra đời, công thức SC vẫn không có nhiều cải biên, nơi có thể áp dụng cho các đối tượng đan xen nhiều vùng ( domain). Cho đến tận những năm gần đây, mới nhen nhóm những khả năng mở rộng công thức SC này.

Ít nhất đã có hai kết quả đột phá trong phương pháp chiếu bảo giác. Kết quả đầu tiên [A] đó là bài báo được công bố năm 2004 trên Journal d’Analyse Mathématique, của Tom DeLillo, Alan Elcrat, and John Pfaltzgraff, họ đã đưa ra được phiên bản SC 1.5, cho phép chiếu phần ngoại quan của một tập hợp đĩa hữu hạn không giao nhau lên phần bên ngoài của một đa diện với số mặt tương đồng. Trước đó, năm 2003, sau khi nghe Elcrat giới thiệu kết quả ( lúc đó chưa công bố) của ông khi hợp tác với Pfaltzgraff và DeLillo trong workshop ở Sydney do hội toán ứng dụng ICIAM tổ thức, Darren Crowdy đã có các ý tưởng mở rộng công thức SC trong đầu. Bài báo đầu tiên của ông năm 2005[ D.G. Crowdy, The Schwarz–Christoffel mapping to bounded multiply connected domains, Proc. Royal Soc. A, 461 (2005), 2653–2678] sử dụng công thức SC mở rộng để chiếu phần bên trong của một đĩa với m lỗ hình tròn lên phần bên trong của một đa giác khép kín với m mặt là các lỗ trên đó. Tiếp theo bài báo này, ông đã mở rộng cho cả một đa giác không khép kín ( unbound domain), dẫn đến sự ra đời phiên bản 2.0 của công thức SC.

Công thức Schwarz–Christoffel được xây dựng bởi hai nhà toán học Đức một cách độc lập là Elwin Christoffel năm 1867 và Hermann Schwarz năm 1869. Nó được sử dụng để dự đoán các cấu trúc thiết kế trước khi một con ốc hay một cái đinh được đặt vào, dựa trên các tính toán về khả năng chịu lực của kết cấu, cũng như các tham số sức căng và ứng suất.

Năm 1952, Zeev Nehari công bố một tư liệu sơ thẩm về phép chiếu bảo giác [B]. Ở chương thứ 7 cũng là chương cuối cùng của bài báo, trong mục các vùng đan xen nhiều bậc ( multiply connected domains), bắt đầu bằng phần chứng mình một đốt ( annulus) μ < |z| < 1 có thể được chiếu một cách conformally và univalently ( C-U) lên một vùng υ < |w| < 1 khi và chỉ khi μ = υ. Và với kết luận, không thể có các vùng tiêu chuẩn khác như một đĩa đơn vị hay mặt trên của trục tọa độ, ở đó mỗi vùng giao nhau kép với đủ các điểm biên lại có thể chiếu bảo giác một cách tương đồng, và nó đã trở thành "một bản án sơ thẩm" cho phương pháp này. Song từ nghiên cứu của Riemann, ông đã nhận thấy rằng có thể thực hiện phép chiếu mọi đômen liên thông kép trên mặt phức z một cách bảo giác và univalently lên một đốt υ < |w| < 1 , và ở đó bất biến υ được biết đến với tên gọi " modulus Riemann" trên vùng xác định.

Để chiếu một đốt μ < |z| < 1 lên một đối tượng liên thông kép ( ví dụ như đa giác), của bề mặt w, đầu tiên chúng ta phải xác định Riemann modulus của vùng mục tiêu. Như ví dụ sau,




Hình 1 : Một đốt có thể được chiếu một cách bảo giác và univalently lên một đa diện chỉ khi chủ thể và mục tiêu có chung một Riemann modulus.

Với trường hợp các vùng giao nhau nhiều lần ( không chỉ dừng lại là bậc kép), vấn đề trở nên phức tạp hơn nhiều. Gọi D là vùng có đơn vị giao nhau n > 2 trên mặt phức z. Các dạng bảo giác D được xác định bới 3n-6 thông số thực - như Nehari đã miêu tả là các Riemann moduli- theo đó D có thể được chiếu bảo giác thành một ảnh D' với cùng đơn vị giao nhau n khi và chỉ khi thoa mãn tất 3n-6 Riemann moduli. Mặc dầu không có một vùng tiêu chuẩn ( canonical) nào mà D có thể chiếu một cách C-U , nhưng lại tồn tại một số họ với vô hạn các " kẽ đômen" ở đó với mọi D hội tụ lượng đủ lớn các điểm biên có thể chiếu lên chỉ một thành viên trong họ đó. Nehari miêu tả có tới 5 họ như vậy, trong số đó 3 họ là các đômen không khép kín và hai họ là các tập con của các đĩa đơn vị . D có thể được chiếu bảo giác lên (i) toàn bộ đĩa đơn vị |w| < 1 ở đó n-1 là các vòng tròn đồng tâm có kẽ được loại đi, hoặc (ii) một đốt υ < |w| < 1 từ n-2 các đường tròn đồng tâm có kẽ bỏ đi. Tiếp đến, D có thể được chiếu lên toàn bộ mặt w ( bao gồm cả các điểm ở vô cực) từ (iii) các kẽ tạo bởi n đường thẳng song song; (iv) n các kẽ thẳng hàng tỏa ra từ chung một tâm, và sau cùng là (v) n các vòng tròn đồng tâm có kẽ bị loại bỏ. Nehari cũng giải thích và giới thiệu các hàm cho phép thực hiện phép chiếu đối tượng D vào một trong các họ trên, và mối liên hệ giữa chúng .

Sau cùng, gọi u và v là hai điểm bất kỳ trên D, và đặt S(u,v) là một lớp của các hàm f trên D, analytic và univalent, ở đó f(u) =0 và . Cũng giống như trường hợp giao nhau đơn giản, S(u,v) chứa một " họ bình dân" ở đó mọi hàm liên tục j đều được xác định trên S(u,v) sẽ tiến tới giá trị cực đại và cực tiểu cho ít nhất một hàm trong lớp. Ví dụ , các hàm f ∈ S(u,v) cung cấp các giá trị cực đại và cực tiểu cho hàm ψ = | f'(u) | chiếu D một cách bảo giác lên một khe vòng tròn đồng tâm không biên và một khe tỏa tròn ( radial) không khép kín. Giống như trong trường hợp liên thông kép, Riemann moduli của D xác định vùng khe nào ở lớp nào là ảnh bảo giác của D.

Vào những năm 50, và sau đó, đã có nhiều cố gắng trong việc mở rộng phương pháp chiếu bảo giác lên các vùng liên thông nhiều bậc. Ngay cả với sự hỗ trợ của máy tính vào những năm 70, nhưng vẫn không có một sự tiến triển nào, nơi phép chiếu tổng quát bao hàm cả năm họ mà Nehari đã giới thiệu. Cho mãi đến..
( Còn nữa )